Il fascino dei numeri (dispari)

Tra tutti i numeri, quelli dispari sono di sicuro i più affascinanti. E tra i numeri dispari i numeri primi sono senza dubbio mozzafiato. I più romantici diranno che nulla è comparabile ad un tramonto sul Mar Rosso o a un’alba sul Monte Sinai, però anche con i numeri primi non si scherza. Prendiamo, come esempio, un numero non casuale, quello del giorno odierno: 11.

Anzitutto salta subito agli occhi che si tratta di un numero palindromo, cioè può leggersi allo stesso modo sia da sinistra verso destra che da destra verso sinistra, mantenendo lo stesso valore. Un fenomeno curioso, quello della palindromia, con vaghi sentori di nostalgiche reversibilità. E allo stesso tempo capace di scatenare irrazionali paure, al punto che esiste addirittura un termine per definire l’ipotetica paura della palindromia, che sarebbe l‘aibofobia, guarda caso essa stessa parola palindroma con possibili sviluppi paradossali. Grazie a questo termine infatti e ad un pugnetto di logica proposizionale si giunge con facilità ad una consequentia mirabilis dimostrando che l’aibofobia esiste indipendentemente dall’osservazione di un qualsiasi caso realmente verificabile. Risparmio a chi legge la dimostrazione, basta seguire il link per trovarla.

Il numero 11, inoltre, è anche il primo e il più piccolo dei numeri palindromi. Quello successivo è il 22 risultato del prodotto tra due numeri primi (22 = 11 * 2). Si potrebbe continuare la sequenza dei numeri palindromi giocando con il numero 11 in modo da inserire tra i due “1” un altro numero in sequenza, per esempio “101”,  “111”, “121”, “131”, “141” eccetera generando una serie di palindromi del numero 11. Ci renderemo conto che i numeri creati in questa sequenza sono tutti palindromi, ovviamente, ma non sono tutti numeri primi. Escludendo i numeri non primi, la nuova sequenza dei numeri primi palindromi del numero 11 si presenterebbe così: 101 – 131 – 151 – 181 – 191.  A questi numeri primi palindromi del numero 11 si potrebbe continuare ad inserire un duplicato del numero intermedio, per mantenere la palindromia (“1001”, “1331”, “1551”, “1881”, “1991”) e verificare quali resteranno numeri primi; con questa nuova operazione non viene creato nessun numero primo, ma tra i 5 numeri interessati  ce n’è uno che è il prodotto di due numeri primi palindromi del numero 11, cioè 1991 risultato di 181 * 11. Il numero 1991, il quinto della serie, meriterà un successivo approfondimento.

Proseguiamo con le  proprietà del numero 11, che non sono terminate. Per esempio il numero 11 è il quinto dei numeri primi (2 – 3 – 5 – 7 – 11) e la sua posizione al posto numero 5 della sequenza dovrà poi farci riflettere sul medesimo numero 5. Insieme al numero 5, il numero 11 è un numero primo sicuro, ovvero è un numero congruo a 5 modulo 6; essendo superiore al numero 7, il numero 11 risulta anche congruo a 3 modulo 4 ed è il primo numero primo ad essere congruo ad 11 modulo 12, caratteristica, quest’ultima, che dovranno possedere tutti i successivi numeri primi sicuri. L’importanza dei numeri primi sicuri è data dalla loro particolare attitudine ad essere utilizzati nella crittografia, sempre molto avida di moduli piccoli.

Forse la proprietà di essere il primo numero primo decagonale centrato appare poco interessante, come anche quella di essere un numero di Ulam. Ma come numero di Wedderburn-Etherington gioca un ruolo anche nello studio dell’evoluzionismo. Non è invece trascurabile l’unicità del numero 11, in questo caso si potrebbe addirittura parlare della solitudine del numero primo 11, in relazione al fatto che sia l’unico numero in base 10 a non essere Harshad-morfico.  Non spiego qui il significato di questa eccezione, basta seguire il link per ottenere un’esauriente spiegazione, a me interessa principalmente che il numero 11 presenti questa caratteristica di totale unicità nell’insieme infinito dei numeri in base 10.

E poi, abbandonando campi tanto esoterici, 11 sono i giocatori di calcio, 11 erano gli apostoli dopo la defezione di Giuda, 11 sono gli anni del ciclo solare; e l’endecasillabo è uno dei versi più belli della poesia italiana: “Nel mezzo del cammin di nostra vita / Mi ritrovai per una selva oscura“.

Ho lasciato in sospeso il numero 5. Pure lui ha parecchie proprietà matematiche, alcune anche curiose, come per esempio che è la somma di due quadrati ( 5 = 1² + 2²) oppure che è il quinto numero della serie di Fibonacci. Ma anche il numero 5 ha la sua eccezionalità, perché risulta essere l’unico numero dispari intoccabile. E per il fatto di appartenere al gruppo degli intoccabili non può essere un numero perfetto. Un numero è intoccabile quando non è il risultato della somma dei divisori propri di nessun altro numero. Il numero 8, per esempio, si può rappresentare come 8 = 1 + 2 + 5; ma 1, 2, 5 sono i divisori del numero 10 e per questa ragione il numero 8 non è intoccabile.

Del numero 1991, fortunosamente comparso in una digressione sul numero 11 e i suoi palindromi, possiamo dire che è dispari ma purtroppo non numero primo. Tuttavia si presenta con l’interessante caratteristica di essere un numero palindromo, risultato peraltro del prodotto di due numeri primi palindromi, cioè del bellissimo 11 e del palindromo del numero 11, il 181. Inoltre di essere l’ultimo della serie dei numeri 1zz1. A parte queste caratteristiche, altre proprietà matematiche sembrano non rilevanti. Però il 1991 considerato come anno solare dalla nascita di Cristo deve senza dubbio essere ricordato perché Linus Torvalds ha iniziato in quell’anno lo sviluppo del kernel Linux.

Non troppo casualmente devo osservare a questo punto che il presente articolo viene scritto nel giorno numero 11 del mese numero 5 del calendario gregoriano, che corrisponde al nome di maggio, a distanza di 22 (cioè il secondo numero palindromo della serie, risultato del prodotto di due numeri primi 22 = 11 * 2)  anni dall’anno solare numero 1991. Chissà se c’è qualche ulteriore significato da ricercare, intanto io mi accontento del fascino dei numeri dispari.

Sempre molto riconoscente al Signore che mi ha chiamato ad essere prete dall’11 maggio 1991.